Kemiripan diri sendiri

Bunga salju Koch mempunyai kemiripan diri sendiri pada saat memperbesarnya berulang secara tak terhingga.

Dalam matematika, kemiripan diri sendiri (bahasa Inggris: self-similarity) pada objek merupakan sifat yang terdapat objek yang sebangun dengannya. Dengan kata lain, keseluruhan pada objek mempunyai satu bagian atau lebih yang mirip dengannya. Banyak objek-objek di kehidupan nyata memiliki sifat yang mirip terhadap dirinya sendiri secara statistik, dalam artian bagian-bagiannya memperlihatkan sifat-sifat statistik yang sama pada skala yang besar. Contohnya seperti pesisir pada sebuah pulau. Sifat kemiripan ini juga merupakan sifat yang terdapat pada fraktal.

Sifat ini persis dengan invarian skala, yakni untuk setiap pembesaran, terdapat kesebangunan pada keseluruhan objek. Sebagai contoh, bunga salju Koch mempunyai sisi yang bersifat simetris dan invarian skala, yang dapat memperbesarnya terus-menerus sebanyak tiga kali tanpa mengubah bentuknya.

Definisi

Ruang topologis kompak $X$ mirip terhadap diri sendiri jika terdapat himpunan hingga $S$ yang mengandung himpunan dari homemorfisme surjektif $\{f_{s}:s\in S\}$

$$X=\bigcup _{s\in S}f_{s}(X).$$

Jika $X\subset Y$, maka $X$ dikatakan mirip terhadap diri sendiri jika $X$ hanyalah subhimpunan takkosong $Y$ sehingga persamaan di atas berlaku untuk $\{f_{s}:s\in S\}$. Ekspresi

$${\mathfrak {L}}=(X,S,\{f_{s}:s\in S\})$$

dikatakan sebagai struktur kemiripan diri sendiri. Homeomofismenya yang dapat berulang, menghasilkan sistem fungsi teriterasi. Komposisi fungsinya membuat monoid, struktur aljabar dengan operasi asosiatif dan elemen identitas. Ketika $S$ mempunyai dua anggota, maka monoid dikenal sebagai monoid diadik. Monoid ini dapat divisualisasikan sebagai pohon biner tak terhingga; lebih umumnya, jika himpunan $S$ mempunyai $p$ anggota, maka monoid dapat dinyatakan sebagai pohon p-adic.