Bicorn

Kurva bicorn

Dalam geometri, bicorn adalah sebuah kurva kuartik rasional yang didefinisikan dengan persamaan

$$y^{2}(a^{2}-x^{2})=(x^{2}+2ay-a^{2})^{2}.$$

Kurva ini mempunyai dua taring dalam simetrik mengenai sumbu-$y$. Kurva bicorn dikenal sebagai kurva topi berbentuk segitiga lantaran mempunyai kemiripannya dengan topi bicorne.

Sejarah

Pada tahun 1864, James Joseph Sylvester mempelajari kurva bicorn. Kurva dengan persamaan

$$y^{4}-xy^{3}-8xy^{2}+36x^{2}y+16x^{2}-27x^{3}=0$$

mempunyai kaitannya dengan klasifikasi persamaan kuintik. James Joseph menamakan kurva itu sebagai bicorn karena memiliki dua taring. Kurva ini dipelajari lebih lanjut oleh Arthur Cayley pada tahun 1867.

Sifat-sifat

Sebuah kurva bicorn yang ditransformasi dengan $a=1$

Bicorn merupakan sebuah kurva aljabar bidang derajat empat dan genus nol. Bicorn mempunyai dua taring yang tunggal di bidang real, dan mempunyai sebuah titik ganda dalam bidang proyektif kompleks di $x=0$, $z=0$. Jika kedua titik tersebut (yakni, $x=0$ dan $z=0$) dipindahkan ke titik asalnya, dengan mensubstitusi dan memutar rotasi imajiner pada $x$, tetapi mensubstitusi ${\textstyle {\frac {ix}{z}}}$ untuk $x$ dan ${\textstyle {\frac {1}{z}}}$ untuk $y$ dalam kurva bicorn, akan diperoleh

$$(x^{2}-2az+a^{2}z^{2})^{2}=x^{2}+a^{2}z^{2}.$$

Kurva ini, yang merupakan limaçon, mempunyai sebuah titik ganda biasa di titik asalnya, dan dua simpul di bidang kompleks, di $x=\pm i$ dan $z=1$.

Persamaan-persamaan parametrik dari kurva bicorn adalah

$$x=a\sin(\theta )$$

dan

$$y=a{\frac {\cos ^{2}(\theta )\left(2+\cos(\theta )\right)}{3+\sin ^{2}(\theta )}}$$

dengan $-\pi \leq \theta \leq \pi$.

Lihat pula

• Daftar kurva-kurva

Pranala luar

• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Bicorn". MathWorld.