Bilangan kuasa penuh

Gambaran bilangan kuasa penuh 1, 4, 8, dan 9, dengan menggunakan batang Cuisenaire.

Bilangan kuasa penuh (bahasa Inggris: powerful number) adalah bilangan bulat positif $m$ sehingga untuk setiap bilangan prima $p$ yang membagi $m$, maka $p^{2}$ juga membagi $m$. Bilangan kuasa penuh dapat dinyatakan sebagai hasil kali bilangan kuadrat dan bilangan kubik, yakni ditulis sebagai $m=a^{2}b^{3}$; disini, $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat positif.

Berikut adalah daftar bilangan kuasa penuh dari 1 sampai 1000:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000, ... (barisan A001694 pada OEIS).

Sifat matematis

Jumlah timbal balik dari bilangan kuasa penuh adalah konvergen. Nilai dari jumlah ini dapat ditulis dengan beberapa cara lain, di antaranya menggunakan darab tak terhingga

$$\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}={\frac {315}{2\pi ^{4}}}\zeta (3)=1.9435964368...,$$

Sebagai keterangan, $p$ menyatakan bilangan prima, $\zeta (s)$ menyatakan fungsi zeta Riemann, dan $\zeta (3)$ menatakan konstanta Apéry. (barisan A082695 pada OEIS) Lebih umumnya lagi, jumlah timbal balik dari bilangan kuasa penuh pangkat $s$ sama dengan

$${\frac {\zeta (2s)\zeta (3s)}{\zeta (6s)}}$$

ketika menuju ke konvergen.

Misalkan $k(x)$ melambangkan jumlah dari bilangan kuasa penuh di selang $[1,x]$, maka $k(x)$ sebanding dengan akar kuadrat dari $x$. Lebih tepatnya,

$$cx^{1/2}-3x^{1/3}\leq k(x)\leq cx^{1/2},c=\zeta (3/2)/\zeta (3)=2.173\ldots .$$

Dua bilangan kuasa berturut yang terkecil adalah 8 dan 9. Karena persamaan Pell $x^{2}-8y^{2}=1$ memiliki tak berhingga banyaknya penyelesaian, maka terdapat tak berhingga banyaknya pasangan dari bilangan kuasa penuh yang berturutan; lebih umumnya, bilangan kuasa berturutan dapat dicari dengan menyelesaikan persamaan Pell yang serupa, $x^{2}-ny^{2}=\pm 1$, untuk setiap bilangan kubik $n$. Sayangnya, salah satu dari dua bilangan kuasa penuh yang berpasangan harus berupa bilangan kuadrat. Menurut Guy, Erdős menanyakan apakah terdapat tak berhingga banyaknya pasangan dari bilangan kuasa penuh berturutan seperti $(23^{3},2^{3}3^{2}13^{2})$, dan di dalam pasangan bilangan tersebut tidak terdapat bilangan kuadrat. Walker memperlihatkan bahwa terdapat tak berhingga banyaknya pasangan tersebut dengan memperlihatkan bahwa $3^{3}c^{2}+1=7^{3}d^{2}$ memiliki tak berhingga banyaknya penyelesaian. Penyelesaian miliknya untuk persamaan tersebut dihasilkan, untuk sebarang bilangan bulat ganjil $k$, dengan memandang bilangan

$$(2{\sqrt {7}}+3{\sqrt {3}})^{7k}=a{\sqrt {7}}+b{\sqrt {3}},$$

untuk bilangan bulat $a$ dapat dibagi oleh 7 dan $b$ dapat dibagi oleh 3. Setelah itu, ia mengonstruksikan dari $a$ dan $b$ menjadi bilangan kuasa penuh berturut $7a^{2}$ dan $3b^{2}$ dengna $7a^{2}=1+3b^{2}$. Ketika memilih $k=1$, $a=2637362$, dan $b=4028637$, maka dihasilkan pasangan berturutan terkecil, yaitu

$$7\cdot 2637362^{2}=2^{2}\cdot 7^{3}\cdot 13^{2}\cdot 43^{2}\cdot 337^{2}=48689748233308$$

dan

$$3\cdot 4028637^{2}=3^{3}\cdot 139^{2}\cdot 9661^{2}=48689748233307.$$

Masalah yang belum terpecahkan dalam matematika:

Bisakah tiga bilangan berturutan menjadi bilangan kuasa penuh?

(lebih banyak masalah yang belum terpecahkan dalam matematika)

Sebuah konjektur Erdős, Mollin, dan Walsh mengatakan bahwa tiada tiga bilangan kuasa penuh yang berturutan. Jika triplet dari bilangan kuasa penuh itu ada, maka suku terkecilnya pasti kongruen dengan 7, 27, atau 35 modulo 36.

Referensi

• Beckon, Edward (2019). "On Consecutive Triples of Powerful Numbers". Rose-Hulman Undergraduate Mathematics Journal. 20 (2): 25–27. 

• Cohn, J. H. E. (1998). "A conjecture of Erdős on 3-powerful numbers". Math. Comp. 67 (221): 439–440. doi:10.1090/S0025-5718-98-00881-3 . 
• Erdős, Paul; Szekeres, George (1934). "Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem". Acta Litt. Sci. Szeged. 7: 95–102. 
• Golomb, Solomon W. (1970). "Powerful numbers". American Mathematical Monthly. 77 (8): 848–852. doi:10.2307/2317020. JSTOR 2317020. 
• Guy, Richard K. (2004). Unsolved Problems in Number Theory (edisi ke-3rd). Springer-Verlag. Section B16. ISBN 978-0-387-20860-2. 
• Heath-Brown, Roger (1988). "Ternary quadratic forms and sums of three square-full numbers". Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1986-7. Boston: Birkhäuser. hlm. 137–163. 
• Heath-Brown, Roger (1990). "Sums of three square-full numbers". Number Theory, I (Budapest, 1987). Colloq. Math. Soc. János Bolyai, no. 51. hlm. 163–171. 
• Ivić, Aleksandar (1985). The Riemann zeta-function. The theory of the Riemann zeta-function with applications. A Wiley-Interscience Publication. New York etc.: John Wiley & Sons. hlm. 33–34,407–413. ISBN 978-0-471-80634-9. Zbl 0556.10026. 
• McDaniel, Wayne L. (1982). "Representations of every integer as the difference of powerful numbers". Fibonacci Quarterly. 20: 85–87. 
• Nitaj, Abderrahmane (1995). "On a conjecture of Erdős on 3-powerful numbers". Bull. London Math. Soc. 27 (4): 317–318. CiteSeerX 10.1.1.24.563 . doi:10.1112/blms/27.4.317. 
• Walker, David T. (1976). "Consecutive integer pairs of powerful numbers and related Diophantine equations" (PDF). The Fibonacci Quarterly. 14 (2): 111–116. MR 0409348.